Zlatni omjer proporcija je koja se od najstarijih vremena smatra najsavršenijom i najskladnijom. Čini osnovu mnogih drevnih građevina, od kipova do hramova, a vrlo je česta u prirodi. Taj se udio istodobno izražava u iznenađujuće elegantnim matematičkim konstrukcijama.
Upute
Korak 1
Zlatni omjer definiran je na sljedeći način: to je takva podjela segmenta na dva dijela da se manji dio odnosi na veći na isti način kao što se veći dio odnosi na cijeli segment.
Korak 2
Ako se duljina cijelog segmenta uzme kao 1, a duljina većeg dijela kao x, tada će se traženi udio izraziti jednadžbom:
(1 - x) / x = x / 1.
Pomnoživši obje strane udjela s x i prenoseći pojmove, dobivamo kvadratnu jednadžbu:
x ^ 2 + x - 1 = 0.
3. korak
Jednadžba ima dva stvarna korijena, od kojih nas prirodno zanima samo pozitivno. Jednako je (√5 - 1) / 2, što je približno jednako 0, 618. Ovaj broj izražava zlatni omjer. U matematici se najčešće označava slovom φ.
4. korak
Broj φ ima niz izvanrednih matematičkih svojstava. Na primjer, čak se i iz izvorne jednadžbe vidi da je 1 / φ = φ + 1. Doista, 1 / (0, 618) = 1, 618.
Korak 5
Drugi način izračuna zlatnog omjera je upotreba beskonačne frakcije. Polazeći od bilo kojeg proizvoljnog x, možete sekvencijalno konstruirati razlomak:
x
1 / (x + 1)
1 / (1 / (x + 1) + 1)
1 / (1 / (1 / (x + 1) + 1) +1)
itd.
Korak 6
Da biste olakšali izračune, ovaj se razlomak može predstaviti kao iterativni postupak, u kojem za izračunavanje sljedećeg koraka morate dodati jedan rezultatu prethodnog koraka i podijeliti jedan s dobivenim brojem. Drugim riječima:
x0 = x
x (n + 1) = 1 / (xn + 1).
Taj se proces konvergira, a njegova je granica φ + 1.
Korak 7
Ako izračun recipročnog zamijenimo ekstrakcijom kvadratnog korijena, odnosno provodimo iterativnu petlju:
x0 = x
x (n + 1) = √ (xn + 1), tada će rezultat ostati nepromijenjen: bez obzira na početno odabrani x, iteracije se konvergiraju na vrijednost φ + 1.
Korak 8
Geometrijski se zlatni omjer može konstruirati pomoću pravilnog petougla. Ako u njemu nacrtamo dvije dijagonale koje se sijeku, tada će svaka od njih drugu strogo podijeliti u zlatnom rezu. Ovo zapažanje, prema legendi, pripada Pitagori, koji je bio toliko šokiran pronađenim uzorkom da je ispravnu petokraku zvijezdu (pentagram) smatrao svetim božanskim simbolom.
Korak 9
Razlozi zbog kojih se zlatni rez čovjeku čini najskladnijim su nepoznati. Međutim, eksperimenti su više puta potvrdili da ispitanici kojima je naloženo podijeliti segment na dva nejednaka dijela to najljepše čine u proporcijama vrlo bliskim zlatnom rezu.
